1 引言(第1/2页)
本文是笔者于2019年为一名有志于学习拓扑学的中学生讲授拓扑学的基础后，整理大致思路并完善后得到的一份讲义。
由于笔者在为其讲授时，考虑到其学业水平，并未教授太过深入的内容，因此，在这里，我也不会安排非常深入的内容。这本书不适合已经有一定数学基础的大学生阅读，主要是为初高中学生准备。
拓扑学是这样的一门学科：它有时候相当的直观，有时候就连图形都是无法想象的。它也是一门相当新兴的数学学科，1900年希尔伯特提出的23个问题中，它没有出现，因为那个时候它还只是一个幼苗。
拓扑学在现代数学中也占有相当重要的地位，自二十世纪五十年代以来，国际数学家联盟颁发的菲尔兹奖中，由于对拓扑学以及它的衍生学科做出贡献而得奖的学者的数目是占有全体得主数目的相当一部分的。
本书第一卷会对集合论作相当详细的研究，我个人认为这是相当有必要的，如果对于集合论已经有一定程度的了解，可以选择跳过这一卷。
第二卷，第三卷主要讲授度量空间和拓扑空间的内容，并不会相当的困难，因为这里我会给以相当详细的讲解，同时将我在学习这些内容的时候产生的一些疑问给出解答。但是这里我会适当的从一些参考书中选取题目或者是示例进行改编，作为课后习题，难度将会适合初高中同学的需要，同时能够锻炼学生的数学思维和提高学业水平。
本文第四卷将会有相当的难度，因为从这里开始不得不引入群论的知识，出于完整的角度考虑，本章将会专门讲授有关于群论的知识。
本文第五卷也将会是最后一卷，在这里，我们将会浅浅的涉及一些基本群的知识。
由于接下来的知识已经不再适合初高中学生学习，我会在结尾给出一些参考资料，有兴趣的同学可以自行选读。
事实上，由于新书第一章必须达到2000字，所以，我在此处简要的讲述一下欧拉定理。
我们的讨论不会涉及多面体的内部，因而，这里的多面体指的仅仅是一个表面，如有不同会专门说明。
在下一步讨论之前，有必要把话说的精确一些，因此，一个多面体是指这样的一个东西：
1.有限多个平面多边形拼凑在一起，如果两个多边形相交，则它们交于一条公共边。任何一个多边形的每一条边，都恰好是另一个且仅有一个多边形的边。
2.对于每个顶点，要求那些含有它的多边形可以排列成Q1，Q2，...，Qs，使得Qi与Qi+1有一个公共边，1小于等于i小于s，而且Qs与Q1有一个公共边。
观察“凸”的多面体，我们可以发现：
将顶点数（v）减去棱数（e）加上面的数目（f），总是等于2
以后简单的记作：v-e+f=2
当然，如果我们观察那些“中间穿孔”的多面体，我们会发现有一些不同。
因为，对于一个中间穿孔的多面体，这是有所不同的。
例如：1.一个中间穿孔的棱柱，v-e+f=0。
同样的，2.对于一个在中间挖出一个立方体空洞的立方体，计算可以知道，v-e+f=4
对于2，我们发现：多面体的表面被分成了两块，用专业一点的话来说，这个表面是不连通的。
有理由把这排除在外，因为这两块中每一个区域都使得v-e+f=2
但是这样不能说明1的情况，所以，接下来，我会给出比较严谨的说明。
如果，一个多面体P满足条件：
定理1.1（欧拉定理）
1。P的任何两个顶点可以用一串棱相连接。
2。P上任何由直线段构成的圈，使得P分割成两个部分。
那么，对于这个多面体，v-e+f=2。
请大家课后自行搜集证明过程，并且粗略的加以理解。
事实上，如果，我们把一个符合上述条件的多面体揉搓变形，任意的拉伸，但是，不允许撕裂，不允许把不同的点粘合在一起，可以得到一个球体，这是容易理解的。
这样，我们得到的多面体的点，与球体的点之间的对应，就是所谓的拓扑等价，或者，用听起来比较专业的话来说，叫做同胚。之后，我们会在本卷中给出同胚的严格定义。
现在，为了使得读者对于这个概念理解的比较具体，我给出关于它的一个例子。
1。一个去掉上下两个面的圆柱
2。复平面上的一个圆环域
对于它们，如果，用比较直观的话来说，就是自上而下（或者自下而上）地看1（不严谨地说，此时，1是“竖立”的），把最靠近眼睛的那一个圆，作为圆环域靠内的一圈，把最远离眼睛的那一个圆，作为圆环域外侧的一圈。
然后，对于中间的点，我们可以找到映射f，使得f是一个1-1的连续函数，并且f的逆映射也是连续的。由于1，2都是连续且稠密的，所以，虽然看起来它们的面积并不一样，但是这样的映射是可以找到的。
具体的找到这样的映射的工作，就留
由于笔者在为其讲授时，考虑到其学业水平，并未教授太过深入的内容，因此，在这里，我也不会安排非常深入的内容。这本书不适合已经有一定数学基础的大学生阅读，主要是为初高中学生准备。
拓扑学是这样的一门学科：它有时候相当的直观，有时候就连图形都是无法想象的。它也是一门相当新兴的数学学科，1900年希尔伯特提出的23个问题中，它没有出现，因为那个时候它还只是一个幼苗。
拓扑学在现代数学中也占有相当重要的地位，自二十世纪五十年代以来，国际数学家联盟颁发的菲尔兹奖中，由于对拓扑学以及它的衍生学科做出贡献而得奖的学者的数目是占有全体得主数目的相当一部分的。
本书第一卷会对集合论作相当详细的研究，我个人认为这是相当有必要的，如果对于集合论已经有一定程度的了解，可以选择跳过这一卷。
第二卷，第三卷主要讲授度量空间和拓扑空间的内容，并不会相当的困难，因为这里我会给以相当详细的讲解，同时将我在学习这些内容的时候产生的一些疑问给出解答。但是这里我会适当的从一些参考书中选取题目或者是示例进行改编，作为课后习题，难度将会适合初高中同学的需要，同时能够锻炼学生的数学思维和提高学业水平。
本文第四卷将会有相当的难度，因为从这里开始不得不引入群论的知识，出于完整的角度考虑，本章将会专门讲授有关于群论的知识。
本文第五卷也将会是最后一卷，在这里，我们将会浅浅的涉及一些基本群的知识。
由于接下来的知识已经不再适合初高中学生学习，我会在结尾给出一些参考资料，有兴趣的同学可以自行选读。
事实上，由于新书第一章必须达到2000字，所以，我在此处简要的讲述一下欧拉定理。
我们的讨论不会涉及多面体的内部，因而，这里的多面体指的仅仅是一个表面，如有不同会专门说明。
在下一步讨论之前，有必要把话说的精确一些，因此，一个多面体是指这样的一个东西：
1.有限多个平面多边形拼凑在一起，如果两个多边形相交，则它们交于一条公共边。任何一个多边形的每一条边，都恰好是另一个且仅有一个多边形的边。
2.对于每个顶点，要求那些含有它的多边形可以排列成Q1，Q2，...，Qs，使得Qi与Qi+1有一个公共边，1小于等于i小于s，而且Qs与Q1有一个公共边。
观察“凸”的多面体，我们可以发现：
将顶点数（v）减去棱数（e）加上面的数目（f），总是等于2
以后简单的记作：v-e+f=2
当然，如果我们观察那些“中间穿孔”的多面体，我们会发现有一些不同。
因为，对于一个中间穿孔的多面体，这是有所不同的。
例如：1.一个中间穿孔的棱柱，v-e+f=0。
同样的，2.对于一个在中间挖出一个立方体空洞的立方体，计算可以知道，v-e+f=4
对于2，我们发现：多面体的表面被分成了两块，用专业一点的话来说，这个表面是不连通的。
有理由把这排除在外，因为这两块中每一个区域都使得v-e+f=2
但是这样不能说明1的情况，所以，接下来，我会给出比较严谨的说明。
如果，一个多面体P满足条件：
定理1.1（欧拉定理）
1。P的任何两个顶点可以用一串棱相连接。
2。P上任何由直线段构成的圈，使得P分割成两个部分。
那么，对于这个多面体，v-e+f=2。
请大家课后自行搜集证明过程，并且粗略的加以理解。
事实上，如果，我们把一个符合上述条件的多面体揉搓变形，任意的拉伸，但是，不允许撕裂，不允许把不同的点粘合在一起，可以得到一个球体，这是容易理解的。
这样，我们得到的多面体的点，与球体的点之间的对应，就是所谓的拓扑等价，或者，用听起来比较专业的话来说，叫做同胚。之后，我们会在本卷中给出同胚的严格定义。
现在，为了使得读者对于这个概念理解的比较具体，我给出关于它的一个例子。
1。一个去掉上下两个面的圆柱
2。复平面上的一个圆环域
对于它们，如果，用比较直观的话来说，就是自上而下（或者自下而上）地看1（不严谨地说，此时，1是“竖立”的），把最靠近眼睛的那一个圆，作为圆环域靠内的一圈，把最远离眼睛的那一个圆，作为圆环域外侧的一圈。
然后，对于中间的点，我们可以找到映射f，使得f是一个1-1的连续函数，并且f的逆映射也是连续的。由于1，2都是连续且稠密的，所以，虽然看起来它们的面积并不一样，但是这样的映射是可以找到的。
具体的找到这样的映射的工作，就留
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